Was leistet ein Kalman-Filter in der Psychometrie?

Ein Kalman-Filter schätzt den Zustand eines Systems, das sich über die Zeit verändert und nur verrauscht beobachtet werden kann. Bekannt ist er aus der Navigation. In der Psychometrie ist die Aufgabe dieselbe: Der psychische Zustand einer Person ändert sich zwischen zwei Wochen tatsächlich, und jede einzelne Antwort misst ihn nur ungenau. Beides gleichzeitig zu berücksichtigen ist genau das, wofür ein Zustandsraummodell gebaut ist.

Die beiden Schritte

Der Filter arbeitet in der Standardform Vorhersage-dann-Korrektur. Für einen skalaren Parameter mit Varianz v:

vPred = v + Q                 // Vorhersage: der wahre Wert darf gedriftet sein
K     = vPred / (vPred + R)   // Kalman-Gewicht aus vorhergesagter Varianz
vNeu  = (1 − K) × vPred       // Korrektur durch die neue Beobachtung

Q, das Prozessrauschen, sagt aus, wie stark sich der wahre Wert zwischen zwei Messzeitpunkten bewegt haben darf. R, das Beobachtungsrauschen, sagt aus, wie zuverlässig die neue Beobachtung ist. Das Gewicht K ergibt sich aus dem Verhältnis: Ist die bisherige Schätzung unsicher und die Beobachtung präzise, zählt die Beobachtung stark — und umgekehrt.

Der praktische Gewinn ist die mitgeführte Unsicherheit. Sie entscheidet nicht nur darüber, wie ein Wert dargestellt wird, sondern auch, welche Frage als Nächstes gestellt wird: Konstrukte mit hoher verbleibender Unsicherheit werden bevorzugt erhoben.

Woher die Konstanten kommen

Q und R sind nicht frei gewählt. Die Zuordnung stammt aus der Latent-State-Trait-Theorie: die situationsspezifische State-Varianz wird zu Q, die Fehlervarianz zu R, woraus R ≈ 1 − Reliabilität folgt.

R wird pro Beobachtung gebildet statt fest gesetzt, weil sich Itemtypen in ihrer Genauigkeit real unterscheiden: R = clamp(σ² × 0,25; 0,005; 0,050). Ein Rating-Item mit σ = 0,20 ergibt damit exakt 0,010, ein klares Freitext-Item mit σ = 0,30 ergibt 0,0225, ein verrauschtes mit σ = 0,45 wird bei 0,050 gekappt. Der Skalenfaktor ist so hergeleitet, dass der Erwartungswert über eine typische Sitzungsmischung beim Literaturziel von 0,010 bleibt.

Q ist nach Konstruktfamilien gestaffelt, weil sich affektive Größen wöchentlich stärker bewegen als relationale: 0,006 für veränderliche Konstrukte wie emotionale Last und Engagement, 0,004 für mittlere wie psychologische Sicherheit und Kontrolle, 0,002 für trägere wie Vertrauen in Führung und in Kolleginnen und Kollegen. Daraus ergeben sich Gleichgewichtswerte der Unsicherheit zwischen etwa 0,060 und 0,073 und eine Konvergenz nach etwa vier bis acht wöchentlichen Sitzungen je Parameter.

Zwei Details, die das Ergebnis bestimmen

Die Ladung steckt in der Unsicherheit, nicht im Wert. Wie stark ein Konstrukt einen Parameter informiert, sagt etwas darüber aus, wie sehr der Beobachtung zu trauen ist — nicht darüber, wie weit der Wert von der Mitte entfernt liegt. Die Beobachtungsvarianz ist deshalb σ²/w², und der Wert geht ungeschrumpft ein.

Eine Sitzung ist ein Zeitpunkt. Alle Antworten einer Sitzung werden nach Präzision zu einer Beobachtung kombiniert und in einem einzigen Schritt angewendet. Sequenzielle Anwendung war reihenfolgeabhängig, weil jeder Schritt den Prior verengt und die zuletzt eintreffende Beobachtung deshalb am wenigsten bewegt. Gemessen betrug die Streuung über alle 24 Permutationen von vier extremen Antworten bis zu 0,342 — auf der Anzeigeskala gut 34 Punkte, allein durch die vom Selektor gewählte Reihenfolge. Alle 14 überlappenden Konstruktpaare waren betroffen, auch die Varianz. Nach der Bündelung ist die Streuung exakt null, nicht innerhalb einer Toleranz: Präzisionsgewichtete Kombination ist kommutativ und assoziativ. Zugleich wird Q einmal je Sitzung angewendet statt einmal je Antwort — der wahre Wert kann sich innerhalb einer Sitzung nicht mehrfach bewegt haben.

Was kalibriert werden muss

Alle genannten Konstanten sind literaturabgeleitete Startwerte, keine an Psydar-Daten geschätzten Größen. Die Übersetzung auf die 0-bis-1-Skala setzt eine Antwort-Standardabweichung von etwa 0,20 voraus; weicht die reale Streuung ab, müssen R und Q proportional reskaliert werden. Der Vorhersageschritt ist ein reiner Random Walk ohne Rückkehr zum Trait und diffundiert dadurch leicht über. Und die Kappung von R bei 0,050 greift ab einer Unsicherheit von 0,45: eine sehr schwache Ladung wird dann genauso behandelt wie eine mittlere. Diese Punkte sind bekannt und für die Neuschätzung an echten Erhebungsdaten vorgemerkt.

Kurzantworten

Was macht ein Kalman-Filter, das ein gleitender Mittelwert nicht macht?

Er führt zu jedem Schätzwert eine Unsicherheit mit und nutzt sie. Jede neue Beobachtung wird nach ihrer eigenen Präzision gewichtet, und zwischen zwei Messzeitpunkten wird ausdrücklich zugelassen, dass sich der wahre Wert bewegt hat. Ein gleitender Mittelwert kennt weder das eine noch das andere und kann echte Veränderung nicht von Rauschen unterscheiden.

Wofür stehen Q und R?

Q ist das Prozessrauschen — die echte Drift des wahren Werts zwischen zwei Messzeitpunkten. R ist das Beobachtungsrauschen — die Unzuverlässigkeit einer einzelnen Antwort. Die Zuordnung stammt aus der Latent-State-Trait-Theorie: State-Varianz wird zu Q, Fehlervarianz zu R.

Beeinflusst die Reihenfolge der Fragen das Ergebnis?

Nein, nicht mehr. Alle Beobachtungen einer Sitzung werden nach Präzision zu einer einzigen Beobachtung kombiniert und in einem Schritt angewendet. Vorher, bei sequenzieller Anwendung, betrug die Streuung über 24 Permutationen derselben vier Antworten bis zu 0,342 — auf einer Skala von 0 bis 100 also gut 34 Punkte allein durch die Fragenreihenfolge. Nach der Umstellung ist sie exakt null.